Признаки делимости — это такие признаки, благодаря которым мы можем определить без расчетов, делится ли число на другое нацело (без остатка) или нет, т.е. является ли число (делимое) кратно другому (делителю).
Рассмотрим конкретные признаки делимости на числа 2, 3, 4, 5, 9,10, 11, 25 и приведем примеры. Для наглядности выбран вид изложения материала — табличный. Внизу статьи вы сможете скачать наглядные материалы для лучшего усвоения данной темы, а также шпаргалку по данной теме.
Узнать на что делится число без остатка
Используй калькулятор, чтобы узнать на что делится любое число. Этот инструмент поможет решать задачи вида: «Выпиши числа которые делятся без остатка на [число]». Прогони через калькулятор все числа из задания и выбери те, в результатах которого встречается заданный делитель.
Таблица
Признак делимости |
Примеры |
Число делится на 2. Такое число называют чётным, если число разряда единиц делится на 2, т.е. число должно оканчиваться на цифры 0, 2, 4, 6, 8. |
18 : 2 = 9 364 : 2 = 182 7395610 : 2 = 3697805 8356489634 : 2 = 4178244817 |
Число делится на 3, если сумма чисел, входящих в состав числа делится на 3 без остатка. |
192 : 3 = 64 (1 + 9 + 2 = 12; 12 делится на 3), 768 : 3 = 256 (7 + 6 + 8 = 21; 21 делится на 3) |
Число делится на 4, если число оканчивается на два нуля или две последние цифры составляют число, которое делится на 4 нацело. |
5700 : 4 = 1425 6324 : 4 = 1581 (24 делится на 4) 648616 : 4 = 162154 (16 делится на 4) 100 : 4 = 25 |
Число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5. |
635 : 5 = 127 867420 : 5 = 173484 5765 : 5 = 1153 6140 : 5 = 1228 |
Число делится на 6, если оно делится без остатка и на 2, и на 3 |
3144 : 6 = 524 (3144 делится на 2, так как заканчивается на 4 – признак делимости на 2; 3 + 1 + 4 + 4 = 12; 12 делится на 3) Соответственно 3144 делится на 6. |
Число делится на 7, если разность между делимым без последней цифры и удвоенным числом единиц, делится на 7 |
287 : 7 = 41 (28 – 7×2=28-14=14; 14 делится на7) |
Число делится на 8, если делимое заканчивается на 3 нуля или три последних числа, составляющих делимое делятся на 8. |
456000 : 8 = 57000 87000 : 8 = 10875 1432 : 8 = 179 (т.к. 432 делится на 8; 432 : 8 = 54). |
Число делится на 9, если сумма цифр, входящих в состав числа делится на 9. |
603 : 9 = 67 ( 6 + 0 + 3 = 9, 9 делится на 9). Поменяем местами цифры в делимом и проверим снова кратность числа 96 630 : 9 = 70 (6 + 3 + 0 = 9), 5832 : 9 = 648 (5 + 8 + 3 + 2 = 18; 18 делится на 9) |
Число делится на 10, если делимое заканчивается на 0. Чтобы разделить число на 10, нужно убрать о из разряда единиц. |
8510 : 10 = 851 546700 : 10 = 54670 750 : 10 = 75 6340 : 10 = 634 |
Число делится на 11, если суммы цифр, которые занимают четные позиции в числе равны сумме цифр, занимающих нечетные позиции или отличаются на 11. |
2695 : 11 = 245 (2 + 9 = 6 + 5 = 11) 1232 : 11 = 112 (1 + 3 = 2 + 2 = 4) 3641 : 11 = 331 (3 + 4 = 6 + 1 = 7) |
Число делится на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50, 75, т.е. последние 2 цифры, входящие в состав числа делятся на 25. |
75600 : 25 = 3024 75625 : 25 = 3025 75650 : 25 = 3026 75675 : 25 = 3027 |
Признаки делимости на составное число
Если нам нужно узнать делится ли число на какое-нибудь составное, то нам нужно разложить делитель на два множителя, признаки делимости которых известны. Посмотрите делится ли исходное число (делимое) на каждый из этих множителей. Если ответ положительный, то число делится на составное.
Примеры:
- Признак делимости на 15. Число должно делится на 3 и на 5 без остатка (15 = 3 x 5). Число 345 делится на 15, так как имеет признаки делимости на 3 (3 + 4 + 5 = 12; 12 делится на 3) и на 5 (число 345 оканчивается на 5). 345 : 15 = 23
- Признак делимости на 18. Исходное число должно делится на 2 и на 9. Пример, 990 делится на 18, так как оно делится на 2 (990 оканчивается на 0) и на 9 (9 + 9 + 0 = 18; 18 делится на 9). 990 : 18 = 55
- Признак делимости на 12. Число должно делится на 3 и на 4. Пример, 324 делится на 12, так как делится на 3 (3 + 2 + 4 = 9; 9 делится на 3) и на 4 (последние две цифры, входящие в состав числа делятся на 4). 324 : 12 = 27
- Признак делимости на 22. Число должно делится на 11 и на 2 (быть чётным). 3454 делится на 11 (т.к. 3 + 5 = 4 + 4) и на 2 (число чётное, оканчивается на 4). 3454 : 22 = 157
Шпаргалка
Эту таблицу вы можете распечатать, чтобы повесить на стену для лучшего запоминания.
Скачать в PNG или PDF (рекомендуется для печати)
И шпаргалка маленького размера ( 10 на 6 см) в виде таблицы
Скачать и распечатать в ворде
Задача
Пользуясь признаками делимости, из данных чисел 1368,2121,2178,4356,5635,7221,8484. Выберете числа кратные
- 5
- 2
- 9
- 3
Ответ: Числа, которые делятся на 5: 5635
Числа с признаками делимости 2: 1268, 2178, 4356, 8484
Числа, кратные 9: 1368, 2178, 4356
Числа, кратные 3: 1368, 2121, 2178, 4356, 7221, 8484